Egyváltozós analízis 2. előadás és gyakorlat
2017/2018. tavaszi félév
Mottó:
„Az élet csak két dologra jó: matematikával foglalkozni és matematikát tanítani.”
Siméon-Denis Poisson (1781–1840)
Időpontok
- Előadás (mm5t1an4):
- kedd 10–12 (Északi 0.87)
- Gyakorlatok (mm5t2an4):
- 1. csoport (Besenyei Ádám): szerda 8–10 (Déli 5-501)
- 2. csoport (Gémes Margit): hétfő 8–10 (Déli 1-819)
- 3. csoport (Nagy Noémi): csütörtök 12–14 (Déli 3-306)
- 4. csoport (Valkó Éva): hétfő 12–14 (Déli 0-412)
A tárgy célkitűzése
Az egyváltozós analízis differenciál- és integrálszámítás és végtelen sorok témaköreinek tárgyalása. Nagy hangsúlyt fektetünk a fogalmak alapos elsajátítására és feladatmegoldásban való alkalmazására.
Tematika
- Differenciálszámítás: Taylor-polinomok, L'Hospital-szabály.
- Primitív függvény, integrálási módszerek.
- Riemann-integrál: alsó és felső integrál, alaptulajdonságok, folytonos függvények integrálhatósága, integrálfüggvény, Newton–Leibniz-tétel.
- Integrálszámítás alkalmazásai: terület-, térfogat- és ívhosszszámítás.
- Kitekintés: improprius integrál.
- Végtelen sorok: konvergenciakritériumok, nevezetes sorok.
Ajánlott irodalom
- Laczkovich Miklós – T. Sós Vera, Valós analízis I., TypoTeX, Budapest, 2012. (Kiváló könyv, de sokkal több anyagot ölel fel, mint ami előadáson szerepelni fog)
- Gémes Margit – Szentmiklóssy Zoltán, Analízis feladatgyűjtemény (Ebből csak a 3., 4. és 6. fejezeteket használjuk; angol nyelven is elérhető.)
- Gémes Margit – Szenmiklóssy Zoltán, Egyváltozós analízis 1 kiegészítő példatár (Gyakorlatokon ebből a két példatárból dolgozunk, ezért mindenkinél legyen ott mindkettő megfelelő fejezete akár kinyomtatva, akár okostelefonon, akár tableten stb.)
- Pintér Lajos, Analízis I–II. (a gimnázium speciális matematika osztályai számára), Tankönyvkiadó, Budapest, 1987. (újabb kiadás: TypoTeX kiadó) (Kiváló könyvecske, én nagyon szeretem, annak idején középiskolai tanárom adta a kezembe.)
További hasznos olvasnivaló:
Zárthelyi, vizsga
Részletes tájékoztató. A lényeg: a tárgy összevont számonkérésű, egyetlen végső jegy kerül be a Neptunba, amelyet a gyakorlati jegy és a szóbeli vizsgán szerzett vizsgajegy együttesen határoz meg. A gyakorlati jegyet 2 csoportzárthelyi és legalább 4 darab röpzárthelyi alapján adják a gyakvezérek. A röpdolgozatokkal csak javítani lehet, méghozzá legfeljebb egy érdemjegyet. Emellett az esetleges kerekítésnél természetesen az órai munka szintén szerepet játszik. A röpdolgozatokban az előadáson szereplő fogalmakra, tételekre is rákérdezünk. A félév végén egy javítási lehetőség van az egész félév anyagából, de ezen a pótzh-n rontani is lehet. A vizsga szóbeli, amelyen egy feladatot is meg kell oldani. Tudnivalók a vizsgáról és tételsor.
- Az első zh időpontja:
- március 19–23. hét
- A második zh időpontja:
- május 14–18. hét
- Pótzh:
- május 24. csütörtök 10–12. Déli tömb 0-803-as terem
Az előadások, gyakorlatok heti anyaga
Mi volt a gyakorlaton?
Mi volt az előadáson?
Figyelem: ez nem előadásjegyzet, csak egy emlékeztető, amelyben bőven akadnak elírások. Ezeket tessék értelemmel kezelni és jelezni, vizsgán az erre való hivatkozást nem tudom elfogadni.
- 1. hét: [előadás] (egyenlőtlenségek, Taylor-polinom)
- 2. hét: [előadás] (Taylor-polinom, L'Hospital-szabály)
- 3. hét: [előadás] (primitív függvény, integrálási módszerek 1.)
- 4. hét: [előadás] (integrálási módszerek 2.)
- 5. hét: [előadás] (Riemann-integrál értemezése)
- 6. hét: [előadás] (monoton és folytonos függvények integrálhatósága)
- 7. hét: [előadás] (műveletek, egyenlőtlenségek, Newton–Leibniz-tétel, integrálfüggvény)
- 8. hét: [előadás] (a határozott inegrál alkalmazásai, improprius integrál)
- 9. hét: [előadás] (végtelen sorok elemi tulajdonságai)
- 10. hét: [előadás] (nemnegatív tagú sorok konvergenciakritériumai)
- 11. hét: [előadás] (abszolút konvergencia, \(\gamma\) szám)
- 12. hét: [előadás] (Taylor-sor)
Érdekességek: A \(\pi\) Leibniz-féle végtelen sor alakban való előállítása. Ki volt Brook Taylor? Hogyan közelítenek a szinusz Taylor-polinomjai?
Érdekességek: Ki volt L'Hospital? A L'Hospital-szabály L'Hospital 1696-os könyvében.
Érdekességek: A primitív függvény szó első megjelenése Lagrange 1797-es művében.
Érdekességek: A láncgörbéről. Sokszögkerekek és utak. Gördülő parabola fókuszpontjának mozgása (Maxwell). Négyszögletű kerékkel fordított láncgörbéken. Négyszögletű kerékkel a vízszintes talajon.
Érdekességek: A Riemann-integrál definíciója Bernhard Riemann (1826–1886) 1854-es művében. Az alsó és felső integrál első megjelenése Gaston Darboux (1842–1917) 1875-ös cikkében.
Érdekességek: Eduard Heine (1821–1881) 1870-es cikke, benne az egyenletes folytonosság definíciója; 1872-es cikke, benne a Heine-tétel.
Érdekességek: A Newton–Leibniz-vita.
Érdekességek: Hogyan határozta meg Arkhimédész a parabola alatti síkidom területét? Egy szép improprius integrál.
Érdekességek: A ζ függvény. A bázeli probléma.
Érdekességek: Jean le Rond D'Alembert hányadoskritériuma 1768-ból. Augustin Cauchy gyökkritériuma és kondenzációs kritériuma 1821-ből. Leibniz-sor konvergenciája.
Érdekességek: Euler-Mascheroni-konstans, a lámpagyújtogató paradoxona, az edényben lévő golyók paradoxona.
Érdekességek: Az analízis a hosszú élet titka (idézet John D. Barrow „100 alapvető dolog, amiről nem tudtuk, hogy nem tudjuk” című könyvből). Mérő László idézet („A csodák logikája” című könyvéből). Jordan Ellenberg idézet (a „Hogy ne tévedjünk” című könyvéből).