Bevezető analízis 2 előadás és gyakorlat
2016/2017. tavaszi félév
Mottó:
„Az élet csak két dologra jó: matematikával foglalkozni és matematikát tanítani.”
Siméon-Denis Poisson (1781–1840)
Időpontok
- Előadás (mm5t1an2):
- szerda 14–16 (Déli tömb 0-803-as Szabó József terem)
- Gyakorlatok (mm5t2an2):
- 1. csoport (Besenyei Ádám): kedd 9–11 (D. 4-710), szerda 16–18 (D. 00-115)
- 2. csoport (Nagy Noémi): szerda 12–14 (D. 0-222), csütörtök 10–12 (D. 0-221)
- 3. csoport (Nagy Noémi): hétfő 10–12 (D. 3-306), szerda 10–12 (D. 3-306)
- 4. csoport (Gémes Margit): hétfő 8–10 (D. 0-412), szerda 8–10 (D. 0-220)
A tárgy célkitűzése
A matematikai analízis alapjainak bemutatása a sorozatok témakörével bezárólag. Nagy hangsúlyt fektetünk a fogalmak alapos elsajátítására és feladatmegoldásban való alkalmazására.
Tematika
- Logikai alapfogalmak, bizonyítási módszerek, egyenlőtlenségek.
- Valós számok, korlátos számhalmazok, hatványozás.
- Sorozatok határértéke, kapcsolat műveletekkel és rendezéssel.
- Monoton sorozatok, az \(e\) szám, Bolzano–Weierstrass-tétel, Cauchy-kritérium.
- Függvények globális tulajdonságai.
Ajánlott irodalom
- Laczkovich Miklós – T. Sós Vera Valós analízis I., TypoTeX, Budapest, 2012. (Kiváló könyv, de sokkal több anyagot ölel fel, mint ami előadáson szerepelni fog.)
- Gémes Margit – Szenmiklóssy Zoltán, Bevezető analízis 2 példatár (Gyakorlatokon ebből dolgozunk, ezért mindenkinél legyen ott akár kinyomtatva, akár okostelefonon vagy tabeleten.)
- Pintér Lajos, Analízis I. (a gimnázium speciális matematika osztályai számára), Tankönyvkiadó, Budapest, 1987. (újabb kiadás: TypoTeX kiadó) (Kiváló könyvecske, én nagyon szeretem, annak idején középiskolai tanárom adta a kezembe.)
További hasznos olvasnivaló:
Zárthelyi, vizsga
Részletes tájékoztató. A lényeg: a tárgy összevont számonkérésű, egyetlen végső jegy kerül be a Neptunba, amelyet a gyakorlati jegy és a szóbeli vizsgán szerezett vizsgajegy átlaga ad. A gyakorlati jegyet két zárthelyi, legalább 6 darab röpzárthelyi (amelyek közül a legrosszabb nem számít) és az órai munka alapján adják a gyakvezérek. A röpdolgozatokban az előadáson szereplő fogalmakra, tételekre is rákérdezünk. A félév végén egy javítási lehetőség van az egész félév anyagából, de ezen a pótzh-n rontani is lehet. A vizsga szóbeli, amelyen egy feladatot is meg kell oldani. Részletes vizsgatematika és tudnivalók.
- Az első zh időpontja:
- várhatóan a március 20–24. héten a gyakorlatokon.
- A második zh időpontja:
- várhatóan a szorgalmi időszak utolsó hetében (május 15–19.).
- Pótzh:
- május 24. szerda, 10– 12 óra, D. 0-805-ös terem
Az előadások, gyakorlatok heti anyaga
Mi volt a gyakorlaton?
- [Besenyei Ádám csoportja]
Érdekességek:
Legyőzi-e az 1,00001x függvény az x függvényt?: 1. ábra, 2. ábra, 3. ábra.
Legyőzi-e az 1,00001x függvény az x2 függvényt?: 4. ábra, 5. ábra, 6. ábra.
A becslés alapszabályai: pdf
Gyakorló feladatsor az 1. zárthelyire: pdf
Gyakorló feladatsor a 2. zárthelyire: pdf
Mi volt az előadáson?
Figyelem: ez nem előadásjegyzet, csak egy emlékeztető, amelyben bőven akadhatnak elírások. Ezeket tessék értelemmel kezelni és jelezni, vizsgán az erre való hivatkozást nem tudom elfogadni.
- 1. hét: [előadás] (logika, indirekt bizonyítás és indukció)
- 2. hét: [előadás] (nevezetes közepek, halmazok)
- 3. hét: [előadás] (valós számok 1.)
- 4. hét: [előadás] (Cantor-axióma, négyzetgyök, tizedes törtek)
- 5. hét: munkaszüneti nap (márc. 15.)
- 6. hét: [előadás] (korlátos halmazok, hatványozás 1.)
- 7. hét: [előadás] (hatványozás 2., konvergencia)
- 8. hét: [előadás] (végtelen határérték, korlátosság)
- 9. hét: [előadás] (nevezetes határértékek, átrendezés, részsorozat, műveletek 1.)
- 10. hét: [előadás] (műveletek 2., egyenlőtlenségek, nagyságrendek 1.)
- 11. hét: [előadás] (nagyságrendek 2., monotonitás és határérték)
- 12. hét: [előadás] (Cauchy-kritérium, függvények fogalmai, tulajdonságai)
- 13. hét: [előadás] (konvex függvények)
Érdekességek: A Bernoulli-egyenlőtlenség Jakob Bernoulli egy könyvéből latinul 1670-ből, és Isaac Barrow-tól angolul 1669-ből. „I was \(x\) years old in the year \(x^2\).” (Augustus De Morgan).
Érdekességek: Minden ló egyforma színű és végtelen sok lába van (Joel Cohen 1961-es cikke matematikai és angol nyelvi humorral fűszerezve: 1. oldal, 2. oldal, 3. oldal). „Az 1 a legnagyobb pozitív egész szám.” (Oskar Perron 1913-as német nyelvű cikkében: 1. oldal, 2. oldal). Russell-paradoxon, borbély paradoxon, Berry-paradoxon. Az aranyrögkettőzés paradoxona.
Érdekességek: Az arkhimédészi axióma Euklidész Elemek című művében: az V. 4. definíciót szokás az első megjelenésnek tartani, amelyet később az V. 8. Tétel bizonyításában használ (felismerjük?). Jobban felismerhető Arkhimédész A gömbről és a hengerről című művében (angol fordításban): 5. bekezdés.
Érdekességek: Hogyan fogjunk oroszlánt? az 1938-as eredeti cikk szövege kommentárokkal. Egy KöMaL cikk, de ennek még csak az első felét tanultuk.
Érdekességek: A teljességi tétel első bizonyítása Bernard Bolzano 1817-es Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes daß zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzetes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege (igen hosszú) című művében: lap alján a tétel a rákövetkező oldalakon az intervallumfelezéses bizonyítás (korai változata).
Érdekességek: A \(3n+1\) probléma. Formulák az \(n\)-edik prímszámra.
Érdekességek: A limit szó 1765-ből a Diderot és D'Alembert szerkesztette Enciklopédia 9. kötetében. A Lim jel első megjelenése Simon Antoine Jean L'Huilier Exposition élémentaire des principes des calculs supérieurs című 1786-os művének 31. oldalán.
Érdekességek:
Érdekességek:
Érdekességek: Newton-féle négyzetgyökkeresési rekurzió animációja (további saját készítésű animációk itt). Bernard Bolzano, Karl Weierstrass.
Érdekességek: Augustin-Louis Cauchy. Peter Gustav Lejeune Dirichlet.
Érdekességek: Ki volt Jensen? Jensen cikke 1906-ból.