A differenciálegyenletek csodálatos világa speciálelőadás
2016/2017. őszi félév
Mottó:
„...a matematika roppant hasznos volta a természettudományokban a titokzatossal határos, és kielégítő magyarázatot nem is tudunk rá adni. ...a »természettörvények« létezése egyáltalán nem természetes, még kevésbé az, hogy az ember képes azokat felfedezni. A csoda, a matematika nyelvének alkalmas volta a fizika törvényeinek megfogalmazására, varázslatos adomány, melyet nem értünk és nem érdemlünk meg.”
Wigner Jenő (1902–1995)
(lásd A matematika meghökkentő hatékonysága a természettudományokban)
Időpont
- Előadás (mm5t9de5):
- szerda 12–14 (Déli tömb 3-716-os terem)
A tárgy célkitűzése
Különböző, a való életből származó (elsősorban) természettudományos modelleken, valamint a képzelet szülte játékos példákon keresztül rövid betekintést kívánunk nyújtani a közönséges differenciálegyenletek lebilincselő világába. Megismerkedünk a legfontosabb egyenlettípusokkal és izgalmas (olykor tréfás) alkalmazásaikkal, számítógépes megjelenítéseikkel, emellett kitérünk a matematikatörténeti vonatkozásokra is. A kurzus tárgyalásmódja kifejezetten a tanárszakosok igényeinek felel meg. Az előkerülő természettudományos modellek, játékos feladatok és a kapcsolódó történeti érdekességek jelentős része akár a középiskolai matematika és egyéb természettudományos tárgyak oktatásában, valamint szélesebb körben való népszerűsítésében is felhasználható. A tárgy egyoldalas reklámja.
Tematika
A sorra kerülő témák a hallgatók érdeklődésétől és szakjától függnek. Ízelítőül néhány a lehetséges témakörök közül:
- a radioaktív bomlás, avagy hogyan leplezték le Han van Meegeren képhamisításait?
- a lehűlés egyenlete, avagy hogyan állapítja meg a halottkém a halál beálltának időpontját?
- üldözési problémák, avagy kutyák, hókotrók, a kis hangya és a gonosz manó.
- milyen alakot vesz fel a két végén felfüggesztett lánc, és mit gondolt erről Galilei?
- mechanikai rezgések, avagy miért ne meneteljenek a katonák, ha hídon mennek át?
- kaotikus sorozatok, avagy miért nehéz előre jelezni az időjárást?
- szerelmi dinamika, avagy miként alakult Petrarca és Laura kapcsolata?
- a Lotka–Volterra-modell, avagy miért nőtt a cápák számának aránya az Adriai-tengerben az I. világháború alatt?
- Lanchester harci modelljei, avagy hány katonára lett volna szüksége az USA-nak a vietnámi háború megnyeréséhez?
- kompartment modellek, avagy hogyan változik a vérben a bevett gyógyszer mennyisége?
- hálózatok és differenciálegyenletek, avagy hogyan modellezzük a betegségterjedést?
Ajánlott irodalom
- Hatvani László – Pintér Lajos, Differenciálegyenletes modellek a középiskolában, Polygon, Szeged, 1997. (kiváló könyv, remekül megírva, az előadás nagyban erre épül)
- Bajcsay Pál, Műszaki matematikai gyakorlatok: Közönséges differenciálegyenletek I., Műszaki Könyvkiadó, Budapest, több kiadás. (sok fizikai példa található benne, én is válogatok belőlük)
- Scharnitzky Viktor, Differenciálegyenletek (példatár), Bolyai-sorozat, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, több kiadás. (sok megoldott feladat)
- Ponomarjov, K. K., Differenciálegyenletek felállítása és megoldása, Tankönyvkiadó, Budapest, 1969. (tele alkalmazásokkal)
- Pólya György, Matematikai módszerek a természettudományban, Gondolat, Budapest, 1984. (kiváló könyv, élvezetes stílusban megírva, érdemes lapozgatni)
- Differenciálegyenletek előadás az MIT-n: kiváló stílusban és érthetően tartott előadás felvételről, nem mellesleg az angol nyelv is gyakorolható. Érdemes egyéb előadásokat is végighallgatni, például Walter Lewin zseniális fizika előadásait.
- Wolfram Demonstrations Project: rengeteg érdekes interaktív demonstráció (például üldözési görbék, Rómeó és Júlia szerelmi dinamikája, láncgörbe, szögletes kerék stb.); a demonstrációk nézegetéséhez szükséges program ingyenesen letölthető az oldalról.
- PhET: a Coloradói Egyetem természettudományos szimulációinak gyűjteménye, rengeteg érdekes és hasznos interaktív anyaggal (magyarul is!).
- Walter Fendt oldala: fizikai kísérletek szimulációival, itt is sok hasznos anyag található.
Internetes oldalak:
Jegyszerzés
Az órákon való részvétel kötelező. A számonkérés 3 hetente beadandó feladatokból fog állni, amelyeket Träger Magdi fog kijelölni és javítani (óriási köszönet a segítségért!).
Az első beadandó.
A második beadandó.
A harmadik beadandó.
A negyedik beadandó.
A hallgatók névsora.
Az előadások heti anyaga, kapcsolódó érdekességek
- 1. hét: tudnivalók, olvasnivalók, jegyszerzés; miről lesz szó? (motiváció és sok példa)
- 2. hét: szeparábilis egyenletek (általános alak, megoldási módszer, két példa), alkalmazás (radioaktív bomlás, kormeghatározás szénizotóppal, képhamisítás).
- 3. hét: bankszámlaegyenleg egyenlete, szétválaszthatóra visszavezethető egyenletek, lineáris helyettesítés, homogén fokszámú egyenletek, üldözési feladat (a világítótorony és a motorcsónak)
- 4. hét: további példák homogén fokszámúra vezető feladatokra (4 kutya, parabolatülör), a láncgörbe
Üldözési feladatok. A láncgörbéről. Sokszögkerekek és utak. Gördülő parabola fókuszpontjának mozgása (Maxwell). Négyszögletű kerékkel fordított láncgörbéken. Négyszögletű kerékkel a vízszintes talajon.
- 5. hét: elsőrendű lineáris egyenletek (mindhárom megoldási módszer).
- 6. hét: elsőrendű lineáris egyenletek alkalmazásai (kis hangya és manó, Newton lehűlési törvénye).
- 7. hét: elsőrendű lineáris egyenletek alkalmazásai (kis hangya és manó, Newton lehűlési törvénye), Bernoulli-egyenlet, Riccati-egyenlet, másodrendű lineáris egyenletek (állandó együtthatós eset, homogén egyenlet)
- 8. hét: másodrendű lineáris egyenletek (próbafüggvény módszer)
- 9. hét: mechanikai rezgések
- 10. hét: a megoldások közelítése (Euler-módszer, szukcesszív approximáció)
- 11. hét: iránymező, merőleges görbesereg
- 12. hét: növekedési modellek (korlátlan, korlátozott, halászati kvóták)
- 13. hét: logisztikus leképezés, egy differenciálegyenlet-rendszer (Rózsika udvarlói)
Érdekességek: A differenciálegyenletek csodálatos világa. Pillangók, százszorszépek, szerelem.
Érdekességek: Newton kézírásos művei digitalizálva; annus mirabilis; hogyan vélekedett Newton a csodák évéről?; Newton anagrammája eredetiben; bővebben anagrammáról; epistola prior és epistola posterior (Newton levelei Leibnizhez); Euler véleménye, miért nem kényelmes Newton jelölése
Érdekességek: Ki volt Willard Libby? Ki volt Han van Meegeren? Video a Meegeren-féle képhamisításokról. A van Meegeren-féle hamisítványok leleplezésének matematikája.
Érdekességek: A logaritmikus spirál. Az egerek üldözési feladata. Az eredeti feladat 1877-ből. Az eredeti megoldás. Itt még több megoldás.
Érdekességek: A kis hangya és a gonosz manó.
Érdekességek: Sherlock Holmes, a kis hangya és a gonosz manó. Jacob Bernoulli, Jacopo Riccati. Egy kiváló cikk a Bernoulli-egyenletről.
Érdekességek: Tacoma-híd (USA). Volgograd-híd (Oroszország). Millennium-híd (London). Rezonancia rugóval. Rezonancia ingával. Rezonancia hangvillával. Rezonancia pohártöréssel. Még egy demonstráció a rezonanciára. Chladni-ábrák. Chladni-ábrák hegedűvonóval. Ki volt Ernst Chladni?
Érdekességek: Harmonikus rezgés rugóval. Ingamozgás. Kritikus csillapítás.
Érdekességek: Ki volt Émile Picard. Az e kétféle közelítése (Bodó Ági szakdolgozatában). Newton-féle négyzetgyökkeresési eljárás.
Érdekességek: Winplot program iránymező rajzolásához.
Érdekességek: Ki volt: Thomas Malthus, Pierre Verhulst. Hogyan alakul a Föld lakossága a korlátlan növekedési modell szerint? Hogyan alakul az USA lakossága a korlátozott növeledési modell szerint?