Besenyei Ádám - Bevezető analízis 2

Bevezető analízis 2 előadás és gyakorlat

I. éves osztatlan matematikatanár szak
2014/2015. tavaszi félév

Mottó:

„Az élet csak két dologra jó: matematikával foglalkozni és matematikát tanítani.”

Siméon-Denis Poisson (1781–1840)

[Időpontok]

[Tematika]

[Zárthelyi, vizsga]

[Mi a tárgy célja?]

[Irodalom]

[Heti anyag]

Időpontok

Előadás (mm5t1an2):: kedd 12–14 (Északi tömb 1.71-es terem)
Gyakorlatok (mm5t2an2):: 1. csoport (Besenyei Ádám): hétfő 12–14 (D. 3-716), szerda 12–14 (D. 3-716); 2. csoport (Pfeil Tamás): szerda 14–16 (D. 0-221), csütörtök 12–14 (D. 4-202); 3. csoport (Nagy Noémi): szerda 14–16 (D. 3-716), csütörtök 12–14 (D. 3-110); 4. csoport (Titkos Tamás): hétfő 8–10 (D. 0-826), szerda 8–10 (D. 3-715); 5. csoport (Gémes Margit): hétfő 8–10 (D. 3-716), kedd 16–18 (D. 3-716)

A tárgy célkitűzése

A matematikai analízis alapjainak bemutatása a sorok témakörével bezárólag. Nagy hangsúlyt fektetünk a fogalmak alapos elsajátítására és feladatmegoldásban való alkalmazására.

Tematika

Logikai alapfogalmak, bizonyítási módszerek, egyenlőtlenségek.
Valós számok, korlátos számhalmazok, hatványozás.
Sorozatok határértéke, kapcsolat műveletekkel és rendezéssel.
Monoton sorozatok, az e szám, Bolzano–Weierstrass-tétel, Cauchy-kritérium.
Végtelen sorok, konvergencia-kritériumok, nevezetes sorozatok és sorok.

Ajánlott irodalom

Laczkovich Miklós – T. Sós Vera Valós analízis I., TypoTeX, Budapest, 2012. (Kiváló könyv, de sokkal több anyagot ölel fel, mint ami előadáson szerepelni fog)
Gémes Margit – Szenmiklóssy Zoltán, Bevezető analízis 2 példatár (Gyakorlatokon ebből dolgozunk, ezért mindenkinél legyen ott akár kinyomtatva, akár okostelefonon.)

Pintér Lajos, Analízis I. (a gimnázium speciális matematika osztályai számára), Tankönyvkiadó, Budapest, 1987. (újabb kiadás: TypoTeX kiadó) (Kiváló könyvecske, én nagyon szeretem, annak idején középiskolai tanárom adta a kezembe.)

Zárthelyi, vizsga

Részletes tájékoztató. A lényeg: a tárgy összevont számonkérésű, egyetlen végső jegy kerül be a Neptunba, amelyet a gyakorlati jegy és a szóbeli vizsgán szerezett vizsgajegy átlaga ad. A gyakorlati jegyet két zárthelyi, legalább 6 darab röpzárthelyi (amelyek közül a legrosszabb nem számít) és az órai munka alapján adják a gyakvezérek. A röpdolgozatokban az előadáson szereplő fogalmakra, tételekre is rákérdezünk. A félév végén egy javítási lehetőség van az egész félév anyagából, de ezen a pótzh-n rontani is lehet. A vizsga szóbeli, amelyen egy feladatot is meg kell oldani. Részletes vizsgatematika és tudnivalók.

Az első zh időpontja:: a március 16–20. héten a gyakorlatokon.
A második zh időpontja:: várhatóan a szorgalmi időszak utolsó hetében (május 11–15.).
Pótzh:: a vizsgaidőszak első hetében május 19-én 9–11 óra között D. 0-805-ös teremben.

Az előadások, gyakorlatok heti anyaga

Mi volt a gyakorlaton?

[Besenyei Ádám csoportja]

Érdekességek:
Legyőzi-e az 1,00001^x függvény az x függvényt?: 1. ábra, 2. ábra, 3. ábra.
Legyőzi-e az 1,00001^x függvény az x² függvényt?: 4. ábra, 5. ábra, 6. ábra.
Az 1.65-ös feladat két rajzos bizonyítása („proof without words”): 1. biz., 2. biz.
A becslés alapszabályai: pdf.
1. zh 2014.: Besenyei Ádám csoportja, Gémes Margit csoportja.
2. zh 2014.: összes csoport
Pót zh 2014.: összes csoport

Mi volt az előadáson?

1. hét: [előadás]

Érdekességek: Minden ló egyforma színű és végtelen sok lába van (Joel Cohen 1961-es cikke matematikai és angol nyelvi humorral fűszerezve: 1. oldal, 2. oldal, 3. oldal). A Bernoulli-egyenlőtlenség Jakob Bernoulli egy könyvéből latinul 1689-ből, és Isaac Barrow-tól angolul 1669-ből. „Az 1 a legnagyobb pozitív egész szám.” (Oskar Perron 1913-as német nyelvű cikkében: 1. oldal, 2. oldal). „I was x years old in the year x².” (Augustus De Morgan).

2. hét: [előadás]

Érdekességek: Russell-paradoxon, borbély paradoxon, Berry-paradoxon. Augustin Louis Cauchy és zseniális bizonyítása az A≥G egyenlőtlenségre 1821-ből: lap alján a tétel, 1. oldal, 2. oldal.

3. hét: [előadás]

Érdekességek: Az Arkhimédészi axióma Euklidész Elemek című művében: az V. 4. definíciót szokás az első megjelenésnek tartani, amelyet később az V. 8. Tétel bizonyításában használ (felismerjük?). Jobban felismerhető Arkhimédész A gömbről és a hengerről című művében (angol fordításban): 5. bekezdés

4. hét: [előadás]

Érdekességek: Hogyan fogjunk oroszlánt? az 1938-as eredeti cikk szövege kommentárokkal. Egy KöMaL cikk, de ennek még csak az első felét tanultuk.

5. hét: [előadás]

Érdekességek: A teljessági tétel első bizonyítása Bernard Bolzano 1817-es Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes daß zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzetes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege (igen hosszú) című művében: lap alján a tétel a rákövetkező oldalakon az intervallumfelezéses bizonyítás (korai változata).

6. hét: [előadás]

Érdekességek: A 3n+1 probléma. Formulák az n-edik prímszámra.

7. hét: [előadás]

Érdekességek: A limit szó 1765-ből a Diderot és D'Alembert szerkesztette Enciklopádia 9. kötetében. A Lim jel első megjelenése Simon Antoine Jean L'Huilier Exposition élémentaire des principes des calculs supérieurs című 1786-os művének 31. oldalán.