Besenyei Ádám

Lineáris parciális differenciálegyenletek gyakorlat

Mottó:

„A természet elmélyült tanulmányozása a matematikai felfedezések legtermékenyebb forrása.”

Joseph Fourier (1768–1830)

Időpont

Gyakorlat (linpde1u0um17gm):

szerda 14–16 (Déli 4-429-es terem)

A tárgy célkitűzése

A tárgy célja a disztribúciók és a Szoboljev-terek elméletének részletesebb megismerése, az elméletnek az általánosított (és ezáltal a klasszikus) peremérték- és sajátérték-feladatok megoldhatóságában való alkalmazásának tárgyalása. Ezenkívül a kurzus rövid bevezetést ad a nemlineáris elliptikus, illetve evolúciós egyenletek elméletébe is. A gyakorlat szorosan kapcsolódik az előadáshoz, ezért mindkettő látogatása melegen ajánlott. A gyakorlatokon főként az anyaghoz kapcsolódó feladatok fognak szerepelni, azonban néhány, az előadásból kimaradó állítás bizonyítása is előkerül.

Tematika

• Disztribúciók: tartó, direkt szorzat, konvolúció.
• Fourier-transzformált: függvények, temperált disztribúciók, alapmegoldások.
• Szoboljev-terek: egy- és többváltozós eset.
• Gyenge megoldások: általánosított peremérték-feladatok, gyenge megoldás létezése és egyértelműsége, sajátérték-feladatok.

Ajánlott irodalom

• Simon László – E. A. Baderko, Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek, Tankönyvkiadó, Budapest, 1983. (az előadás erre épül, nehezebb feladatokkal)
• Besenyei Ádám – Komornik Vilmos – Simon László, Parciális differenciálegyenletek, ELTE, TypoTeX, 2013. (bőven van még mit csiszolni rajta...)

További olvasnivaló az érdeklődőknek


• Czách László – Simon László, Parciális differenciálegyenletek 1–2., ELTE jegyzet, Budapest, sok kiadás (klasszikus elmélet, disztribúciók nélkül)
• V. Sz. Vlagyimirov, Bevezetés a parciális differenciálegyenletek elméletébe, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1979. (nehéz olvasmány, fizikai szemlélet szükséges)
• V. Sz. Vlagyimirov, Parciális differenciálegyenletek feladatgyűjtemény, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1980. (nehezebb feladatok)
• Freud Géza, Parciális differenciálegyenletek (Műszaki matematikai gyakorlatok B VIII), Műszaki Könyvkiadó, Budapest, sok kiadás. (sok feladat)
• Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, AMS, Providence, 2002. (egyszerű és elegáns tárgyalásmód)
• Vladimir Arnold, Lectures on Partial Differential Equations, Springer, 2004. (zseniális, szemléletes, nem szokványos, mint minden Arnold-könyv, előszó)
• Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2010. (zseniális könyv, lényegretörő, az összefüggésekre világít rá, feladatok és megoldások)

Jegyszerzés

Jegyet szerezni várhatóan két zárthelyi megírásával lehet. Házi feladatok beadásával plusz pontok szerezhetők. A részleteket az első órán megbeszéljük.

A gyakorlatok feladatsorai és megoldásaik

• 1. gyakorlat (emlék, disztribúciók tartója): [feladatsor] [megoldás]
• 2. gyakorlat (függvények és disztribúciók direkt szorzata): [feladatsor] [megoldás]
• 3. gyakorlat (függvények és disztribúciók konvolúciója): [feladatsor] [megoldás]
• 4. gyakorlat (függvények és disztribúciók Fourier-transzformáltja): [feladatsor] [megoldás]
• 5. gyakorlat (alapmegoldások): [feladatsor] [megoldás]
• 6. gyakorlat (1. ZH): [feladatsor]
• 7. gyakorlat (többváltozós Szoboljev-terek): [feladatsor] [megoldás]
• 8. gyakorlat (beágyazási tételek): [feladatsor] [megoldás]
• 9. gyakorlat (egyváltozós Szoboljev-terek 1.): [feladatsor] [megoldás]
• 10. gyakorlat (egyváltozós Szoboljev-terek 2.): [feladatsor] [megoldás]
• 11. gyakorlat (általánosított peremérték-feladatok): [feladatsor] [megoldás]
• 12. gyakorlat (sajátértékek, vegyes feladatok): [feladatsor] [megoldás]
• 13. gyakorlat (2. ZH): [feladatsor]