Parciális differenciálegyenletek előadás és gyakorlat

III. éves Matematika BSc matematikus és alkalmazott matematikus szakirány
2014/2015. tavaszi félév

Mottó:

„A természet elmélyült tanulmányozása a matematikai felfedezések legtermékenyebb forrása.”

Joseph Fourier (1768–1830)

[Időpontok]
[Tematika]
[Zárthelyi, vizsga]
[Mi a tárgy célja?]
[Irodalom]
[Feladatsorok]

Időpontok

Előadás (mm1c1pd6m):
hétfő  8–10   (Déli tömb 0-805-ös terem) [Az előadások emlékeztetői]
Matematikus gyakorlat (mm1c2pd6m):
1. csoport (Izsák Ferenc): csütörtök 8–10 (Déli tömb 00-115-ös terem)
Alkalmazott matematikus gyakorlatok (mm1c2pd6a):
1. csoport (Tarcsay Zsigmond): kedd 14–16   (Déli tömb 3-219-es terem)
2. csoport (Szűcs Zsolt): hétfő 16–18 (Déli tömb 3-219-es terem)

A tárgy célkitűzése

A tárgy oktatásának célja egyrészt az, hogy a hallgatók megismerkedjenek a különböző természettudományos modellekben elődorduló legfontosabb klasszikus parciális differenciálegyenletekkel, másrészt pedig rövid áttekintést kapjanak a parciális differenciálegyenletek elméletében alkalmazott fő eszközökről és módszerekről. Gondolatébresztőként V. I. Arnold (1937-2010), a 20. század egyik zseniális matematikusának véleményét érdemes megfontolni.

Tematika

  • A parciális differenciálegyenlet fogalma, speciális típusok. Fizikai példák kezdeti, peremérték- és vegyes feladatokra.
  • A másodrendű lineáris és szemilineáris parciális differenciálegyenletek osztályozása és kanonikus alakja.
  • A disztribúció fogalma, reguláris disztribúciók. Algebrai műveletek disztribúciók körében. Disztribúciók tartója. Disztribúciók deriválása, nevezetes példák. Konvolúció és direkt szorzat disztribúciók körében.
  • Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenletek alapmegoldása, példák.
  • Klasszikus és általánosított Cauchy-feladat állandó együtthatós lineáris hiperbolikus és parabolikus egyenletekre.
  • Green-formulák elliptikus egyenletekre. Az elliptikus peremérték-feladatok klasszikus megoldásának egyértelműsége. Green-függvény.
  • Szoboljev függvényterek: alaptulajdonságok, ekvivalens normák, kompakt beágyazási tételek, nyomoperátor.
  • A peremérték-feladatok gyenge (Szoboljev-térbeli) megoldásának fogalma. Klasszikus és általánosított sajátérték-feladat. A sajátértékek és sajátfüggvények tulajdonságai. Alternatíva tétel az inhomogén peremérték feladatokra.
  • Vegyes (kezdeti-peremértékfeladat) hiperbolikus és parabolikus egyenletekre. A gyenge (Szoboljev-térbeli) megoldás egyértelműsége, a megoldás létezése (Fourier-módszer).

Ajánlott irodalom

Zárthelyi, vizsga

A gyakorlatokon a félév során két zárthelyi lesz, a gyakorlati jegyet a két zh összpontszáma fogja meghatározni. Mindkét zh 7 feladatból áll, mindegyik feladat 5 pontot ér, így a két zh-val összesen 70 pont szerezhető. Mindkét zh-n legalább egy feladatot (lényegében) helyesen meg kell oldani. A gyakorlati jegy ponthatárai várhatóan nem lesznek szigorúbbak, mint 20-30-40-50. A két zh közül az egyik javítható, a javító felülírja a korábbi pontszámot.

Az első alkmat zh időpontja:
március 16. és március 18. a gyakorlatok idejében és helyén.
A második zh időpontja:
május 4. és május 6. a gyakorlatok idejében és helyén.
Javító zh, gyakuv:
szorgalmi időszak utolsó hetében javító, vizsgaidőszak első hetében gyakuv.

Az előadás írásbeli vizsgával zárul. Vizsgaidőpontok: május 27. (D. 0-805), június 9. (D. 0-805), június 18. (É. 0.83) (a vizsgák 9-től kezdődnek). Részletes vizsgatematika. Minta vizsga.

Az alkmatos gyakorlatok feladatsorai és megoldásaik