Többváltozós analízis 1. előadás és gyakorlat

Mottó:

„Az élet csak két dologra jó: matematikával foglalkozni és matematikát tanítani.”

Siméon-Denis Poisson (1781–1840)

---

---

Időpontok

Előadás (mm5t1an4):

kedd 8–10 (Déli tömb 0-804 Lóczi Lajos terem)

Gyakorlatok (mm5t2an4):

1. csoport (Sikolya Eszter): kedd 12–14 (Déli tömb 1-819)

2. csoport megszűnt

3. csoport (Valkó Éva): csütörtök 16–18 (Déli tömb 0-311)

4. csoport (Valkó Éva): szerda 14–16 (Déli tömb 0-817)

---

A tárgy célkitűzése

Az egyváltozós analízis néhány kiegészítő témakörének, valamint a többváltozós differenciálszámítás fejezeteinek tárgyalása. Nagy hangsúlyt fektetünk a fogalmak alapos elsajátítására és feladatmegoldásban való alkalmazására.

---

Tematika

• Improprius integrál.
• Hatványsorok, Taylor-sorok.
• Az \(n\)-dimenziós euklideszi tér. Gömbök, nyílt, zárt halmazok, konvergens pontsorozatok, Cauchy-sorozatok.
• Többváltozós függvények folytonossága és határértéke.
• Korlátos, zárt halmazok az \(n\)-dimenziós euklideszi térben. Korlátos, zárt halmazokon értelmezett folytonos függvények tulajdonságai.
• Parciális deriváltak, iránymenti deriváltak. Többváltozós függvények differenciálszámítása.

---

Ajánlott irodalom

• Laczkovich Miklós – T. Sós Vera, Valós analízis I., TypoTeX, Budapest, 2012.
Laczkovich Miklós – T. Sós Vera, Valós analízis II., TypoTeX, Budapest, 2013.
(Előadáson ezek mentén haladunk, de a könyvek sokkal több anyagot ölelnek fel, és mélyebben is tárgyalnak.)
• Sikolya Eszter, Analízis jegyzet
  (Kiválóan illeszkedik az előadáshoz és a tankönyvnél rövidebb.)
• Gémes Margit – Szentmiklóssy Zoltán, Analízis feladatgyűjtemény I. (angolul is) (Gyakorlatokon ebből dolgozunk, ezért legyen ott mindenkinél akár kinyomtatva, akár okostelefonon, tableten stb. Ebben a félévben az 5.4 és 7.2 szakaszokra, valamint a 8. fejezetre lesz szükségünk.)
• Fekete Zoltán – Zalay Miklós, Többváltozós függvények analízise, Műszaki Kiadó, sok kiadás (Példatár megoldásokkal, gyakorlásra hasznos lehet, de az anyagnak csak egy részét tartalmazza és nem is feltétlenül olyan mélységben, ahogy esetleg gyakorlaton szerepel majd.)

---

Zárthelyi, vizsga

Részletes tájékoztató. A lényeg: a tárgy összevont számonkérésű, egyetlen végső jegy kerül be a Neptunba, amelyet a gyakorlati jegy és a szóbeli vizsgán szerzett vizsgajegy együttesen határoz meg. A gyakorlati jegyet 2 csoportzárthelyi és legalább 4 darab röpzárthelyi alapján adják a gyakvezérek. A röpdolgozatokkal csak javítani lehet, méghozzá legfeljebb egy érdemjegyet. Emellett az esetleges kerekítésnél természetesen az órai munka szintén szerepet játszik. A röpdolgozatokban az előadáson szereplő fogalmakra, tételekre is rákérdezünk. A félév végén egy javítási lehetőség van az egész félév anyagából, de ezen a pótzh-n rontani is lehet. A vizsga szóbeli, amelyen egy feladatot is meg kell oldani.
Tudnivalók a vizsgáról és tételsor.

Az első zh időpontja:

október 15-16-17.

A második zh időpontja:

december 10-11-12.

Pótzh:

december 18. szerda 9–11 óra, Északi tömb 0.89-es terem

---

Az előadások heti anyaga

Figyelem: ez nem előadásjegyzet, csak egy emlékeztető, amelyben bőven akadnak elírások. Ezeket tessék értelemmel kezelni és jelezni, vizsgán az erre való hivatkozást nem tudom elfogadni.

• 1. hét: [előadás] (improprius integrál, konvergencia, példák)

Érdekességek: Az improprius szó jelentése.

• 2. hét: [előadás] (majorizáció, minorizáció, integrálkritérium, Taylor-sorok emlékek)

Érdekességek: \(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}\), \((-1/2)!=\sqrt{\pi}/2\), bázeli probléma, Apéry-konstans

• 3. hét: [előadás] (hatványsorok konvergenciasugara, összegfüggvénye)

Érdekességek: animáció a Leibniz-kritériumról, Stirling-formula.

• 4. hét: [előadás] (hatványsorok alkalmazása, \(\mathbb{R}^p\), CBS-egyenlőtlenség)

Érdekességek: aranymetszés, Fibonacci-sorozat a napraforgóban, Viktor Bunyakovszkij (1804–1889), Hermann Schwarz (1843–1921), Mekkora \(2x+3y\) maximuma, ha \(x^2+y^2=1\)? A feladat sokféle megoldása olvasható ennek a szakdolgozatnak az 1. fejezetében.

• 5. hét: [előadás] (konvergencia, ponthalmazelmélet)

Érdekességek: a \(\partial\) jelölés eredete.

• 6. hét: [előadás] (torlódási pont, nyílt, zárt halmazok, többváltozós függvények grafikonja)

Érdekességek: Néhány függvénygrafikon.

• 7. hét: [előadás] (függvényhatárérték és folytonosság)

Érdekességek:

• 8. hét: [előadás] (szélsőértékek)

Érdekességek: Az 1 a legnagyobb pozitív egész eredeti „bizonyítása” Oskar Perron (1880–1975) német matematikustól. (142. oldal alján kezdődik)

• 9. hét: [előadás] (totális differenciálhatóság)

Érdekességek: A nabla szó eredete.

• 10. hét: [előadás] (érintősík, iránymenti derivált)

Érdekességek:

• 11. hét: [előadás] (kétszeres differenciálhatóság, Taylor-polinom)

Érdekességek: Peano példája.

• 12. hét: [előadás] (Taylor-polinom, lokális szélsőérték)

Érdekességek: Ludwig Otto Hesse (1811–1874), majomnyereg.

• 13. hét: [előadás] (\(\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}\) függvények és \(\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}^q\) függvények)

Érdekességek: Carl Jacob Gustav Jacobi (1804–1851).