Többváltozós analízis 1. gyakorlat

IV. éves osztatlan matematikatanár szak
2016/2017. tavaszi félév

Mottó:

„ Az élet csak két dologra jó: matematikával foglalkozni és matematikát tanítani.”

Siméon-Denis Poisson (1781–1840)



Időpont

3. csoport:
kedd 8–10 (Déli tömb 3-716-os terem)
(A gyakorlatokat Gémes Margit tanárnő koordinálja, ezért az ő honlapját is érdemes figyelemmel kísérni. Ezenkívül az előadó, Laczkovich Miklós honlapján megtalálható a félévvel kapcsolatos tájékoztató.)

A tárgy célkitűzése

A tárgy oktatásának célja, hogy megismertesse a hallgatókat a többváltozós differenciálszámítás elemeivel.


Tematika

  • Az integrálszámítás alkalmazásai: terület-, térfogat- és ívhossz-számítás.
  • Kitekintés: improprius integrál.
  • Az n-dimenziós euklidészi tér. Gömbök, nyílt, illetve zárt halmazok, konvergens pontsorozatok, Cauchy sorozatok.
  • A metrikus tér fogalma, teljes terek.
  • Többváltozós függvények folytonossága és határértéke.
  • Kompakt halmazok az n-dimenziós euklidészi térben. Kompakt halmazokon értelmezett folytonos függvények tulajdonságai.
  • Kitekintés: topológia, dimenzió, fraktálok.
  • Parciális deriváltak, iránymenti deriváltak. Többváltozós függvények differenciálszámítása.


Ajánlott irodalom


Zárthelyi

A félév során két zárthelyi és legalább 4 röpzárthelyi lesz, a gyakorlati jegyet ezek fogják meghatározni (40–40–20 arányban). A félév végén egy javítási lehetőség lesz az egész félév anyagából, amelyen rontani is lehet. Az előadó, Lackovich Miklós tájékoztatója.

Az első zh időpontja:
október 25. a gyakorlat ideje és helye
A második zh időpontja:
Az utolsó héten az előadáson (december 12.)
Pót/javító zh időpontja:
várhatóan a vizsgaidőszak első hetében


A gyakorlatokon szerepelt feladatok

  • 1. gyakorlat: 5.141, 176, 61, 62, 174, 140.
    HF: 5.70, 165, 64, 141, egységnégyzet, egységnégyzet racionális koordinátájú pontjai alkotta halmaz, {(x,y) : 0≤x≤1, 0≤y≤x2} belső, külső mértéke.
  • 2. gyakorlat: 5.141, 70, egységnégyzet (síkon és térben), egységnégyzet racionális koordinátájó pontjai alkotta halmaz, {(x,y) : 0≤x≤1, 0≤y≤x2} belső, külső mértéke, {(x,y) : 1≤x≤2, 2x+1≤y≤3x+2} szekciói, 5.186, 198.
    HF: f(x)=1, ha 0≤x≤1 és x racionális, és f(x)=2 különben, mérhető-e f grafikonja és a grafikon alatti tartomány a síkban, {(x,y) : 4≤x≤16,  x  ≤y≤x} szekciói, 5.71, 72, 73, 83, 84.
  • 3. gyakorlat: HF-ek közül a mérhetőségek, szekciók, 5.72 (kétféle megoldás), 5.73, ívhossz legalább b-a, monoton esetben legfeljebb b-a+f(b)-f(a), sh páratlan, addíciós képletek ötlet, parciális törtekre bontás
    HF: ch páros, sh(x+y) addíciós képlete, 5.29, 74, 173
  • 4. gyakorlat: HF-ek közül 5.74, 173; torlódási pontok halmaza: lehet-e üreshalmaz, egy pont, két pont, egész koordinátájú pontok halmaza, nyílt körlap; x+2y határértéke (2,1)-ben.
    HF: torlódási pontok halmaza: lehet-e racionális koordinátájú pontok halmaza, zárt körlap; van-e konvergens részsorozata: (sin(n), cos(n)), (sin(nπ),cos(nπ)); 8.70, 76
  • 5. gyakorlat: HF-ek közül van-e konvergens részsorozata: 8.76, 70,(sin(n), cos(n)), (sin(nπ),cos(nπ)); 8.44, 45, 46, 81.
    HF: gyakorlás az eddigi anyagból.
  • 6. gyakorlat: 1. ZH, konzultáció hétfőn 12-től a D 3.619-ben vagy bármikor emailben.
  • 7. gyakorlat: zh megbeszélés, nyílt zárt halmazok: különböző intervallumok, egységkörvonal
    HF: nyílt-e? zárt-e?: egységkörlap a körvonallal, anélkül; Biz. be: végtelen sok nyílt halmaz uniója nyílt.
  • 8. gyakorlat: belső, külső és határpont: [a,b), (-1,1)\{0}; parciális derivált: 8/86, 98 és xy; szélsőérték: 8/155
    HF: belső, külső és határpont: (0,1)∪{2}; parciális derivált: 8/90, 93, 96; szélsőérték: 8/153, 157, 159, 160, 161;
  • 9. gyakorlat: xyz parciális deriváltjai, 8/160, 161, 2xy+x2-y diffhatósága, érintősíkja a (0,0) pontban, 8/114
    HF:115, diffható-e (0,0)-ban: (x+y)/(x2+y22+1), log(x2+y2+1), f(x,y)=y2, ha x=0 és f(x,y)=x különben.
  • 10. gyakorlat: diffható-e (0,0)-ban: log(x2+y2+1), f(x,y)=y2, ha x=0 és f(x,y)=x különben; mely f kétváltozós függvényre teljesül, hogy mindkét parciális derivált azonosan 0?; D1f=1, D2f=0; D1f=1, D2f=1; 8/107, 116.
    HF: 8/107 befejezni, 118, 120.
  • 11. gyakorlat: 8/118, 120, 102, 103, diffható-e az origóban: f(x,y)=x2, ha y=0 és f(x,y)=0 különben
    2. ZH: az előadás helyén (Kémia 067) hétfőn 17–19 óra között. Konzultáció: csütörtök 13 óra, péntek 14 óra a D. 3.619-ben.