A differenciálegyenletek csodálatos világa speciálelőadás
2015/2016. őszi félév
Mottó:
„...a matematika roppant hasznos volta a természettudományokban a titokzatossal határos, és kielégítő magyarázatot nem is tudunk rá adni. ...a »természettörvények« létezése egyáltalán nem természetes, még kevésbé az, hogy az ember képes azokat felfedezni. A csoda, a matematika nyelvének alkalmas volta a fizika törvényeinek megfogalmazására, varázslatos adomány, melyet nem értünk és nem érdemlünk meg.”
Wigner Jenő (1902–1995)
(lásd The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences)
Időpontok
- Előadás (mm5t9de5):
- hétfő 12–14 (Északi tömb 0.89-es terem)
A tárgy célkitűzése
Különböző, a való életből származó (elsősorban) természettudományos modelleken, valamint a képzelet szülte játékos példákon keresztül rövid betekintést kívánunk nyújtani a közönséges differenciálegyenletek lebilincselő világába. Megismerkedünk a legfontosabb egyenlettípusokkal és izgalmas (olykor tréfás) alkalmazásaikkal, számítógépes megjelenítéseikkel, emellett kitérünk a matematikatörténeti vonatkozásokra is. A kurzus tárgyalásmódja kifejezetten a tanárszakosok igényeinek felel meg. Az előkerülő természettudományos modellek, játékos feladatok és a kapcsolódó történeti érdekességek jelentős része akár a középiskolai matematika és egyéb természettudományos tárgyak oktatásában, valamint szélesebb körben való népszerűsítésében is felhasználható. A tárgy egyoldalas reklámja.
Tematika
A sorra kerülő témák a hallgatók érdeklődésétől és szakjától függnek. Ízelítőül néhány a lehetséges témakörök közül:
- a radioaktív bomlás, avagy hogyan leplezték le Han van Meegeren képhamisításait?
- a lehűlés egyenlete, avagy hogyan állapítja meg a halottkém a halál beálltának időpontját?
- üldözési problémák, avagy kutyák, hókotrók, a kis hangya és a gonosz manó.
- milyen alakot vesz fel a két végén felfüggesztett lánc, és mit gondolt erről Galilei?
- mechanikai rezgések, avagy miért ne meneteljenek a katonák, ha hídon mennek át?
- kaotikus sorozatok, avagy miért nehéz előre jelezni az időjárást?
- szerelmi dinamika, avagy miként alakult Petrarca és Laura kapcsolata?
- a Lotka–Volterra-modell, avagy miért nőtt a cápák számának aránya az Adriai-tengerben az I. világháború alatt?
- Lanchester harci modelljei, avagy hány katonára lett volna szüksége az USA-nak a vietnámi háború megnyeréséhez?
- kompartment modellek, avagy hogyan változik a vérben a bevett gyógyszer mennyisége?
- hálózatok és differenciálegyenletek, avagy hogyan modellezzük a betegségterjedést?
Ajánlott irodalom
- Hatvani László – Pintér Lajos, Differenciálegyenletes modellek a középiskolában, Polygon, Szeged, 1997. (kiváló könyv, remekül megírva, az előadás nagyban erre épül)
- Bajcsay Pál, Műszaki matematikai gyakorlatok: Közönséges differenciálegyenletek I., Műszaki Könyvkiadó, Budapest, több kiadás. (sok fizikai példa található benne, én is válogatok belőlük)
- Scharnitzky Viktor, Differenciálegyenletek (példatár), Bolyai-sorozat, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, több kiadás. (sok megoldott feladat)
- Ponomarjov, K. K., Differenciálegyenletek felállítása és megoldása, Tankönyvkiadó, Budapest, 1969. (tele alkalmazásokkal)
- Pólya György, Matematikai módszerek a természettudományban, Gondolat, Budapest, 1984. (kiváló könyv, élvezetes stílusban megírva, érdemes lapozgatni)
- Differenciálegyenletek előadás az MIT-n: kiváló stílusban és érthetően tartott előadás felvételről, nem mellesleg az angol nyelv is gyakorolható. Érdemes egyéb előadásokat is végighallgatni, például Walter Lewin zseniális fizika előadásait.
- Wolfram Demonstrations Project: rengeteg érdekes interaktív demonstráció (például üldözési görbék, Rómeó és Júlia szerelmi dinamikája, láncgörbe, szögletes kerék stb.); a demonstrációk nézegetéséhez szükséges program ingyenesen letölthető az oldalról.
- PhET: a Coloradói Egyetem természettudományos szimulációinak gyűjteménye, rengeteg érdekes és hasznos interaktív anyaggal (magyarul is!).
- Walter Fendt oldala: fizikai kísérletek szimulációival, itt is sok hasznos anyag található.
Internetes oldalak:
Jegyszerzés
Az órákon való részvétel kötelező. A számonkérés 3 hetente beadandó feladatokból fog állni, amelyeket Bodó Ági fog kijelölni és javítani (óriási köszönet a segítségért!).
Az első beadandó.
A második beadandó.
A harmadik beadandó.
A negyedik beadandó.
A hallgatók névsora.
Az előadások heti anyaga, kapcsolódó érdekességek
- 1. hét: tudnivalók, olvasnivalók, jegyszerzés; miről lesz szó? (motiváció és sok példa)
- 2. hét: szeparábilis egyenletek (általános alak, megoldási módszer, két példa), alkalmazás (radioaktív bomlás, kormeghatározás szénizotóppal, képhamisítás), Pitagorasz-tétel „bizonyítása” differenciálegyenletekkel.
- 3. hét: szétválaszthatóra visszavezethető egyenletek, lineáris helyettesítés, homogén fokszámú egyenletek, üldözési feladatok (a világítótorony és a motorcsónak; a 4 kutya/egér/cica...)
- 4. hét: a láncgörbe, elsőrendű lineáris egyenletek (1. rész: állandók variálása).
- 5. hét: elsőrendű lineáris egyenletek (2. rész: integráló tényező, próbafüggvény, rezonancia).
- 6. hét: elsőrendű lineáris egyenletek alkalmazásai (kis hangya és manó, Newton lehűlési törvénye stb.).
- 7. hét: másodrendű lineáris egyenletek (állandó együtthatós eset, homogén egyenlet, próbafüggvény)
- 8. hét: másodrendű lineáris egyenletek alkalmazása (rugómozgás leírása, rezonancia)
- 9. hét: elsőrendű kezdetiérték-feladatok megoldhatósága, a megoldások közelítése
- 10. hét: Euler-féle töröttvonal, iránymező, merőleges görbesereg
- 11. hét: növekedési modellek (korlátlan, korlátozott, halászati kvóták)
- 12. hét: egy differenciálegyenlet-rendszer (Rómeó és Júlia szerelme)
- 13. hét: kitekintés, mire nem jutott idő?
Érdekességek: Newton kézírásos művei digitalizálva; annus mirabilis; hogyan vélekedett Newton a csodák évéről?; Newton anagrammája eredetiben; bővebben anagrammáról; epistola prior és posterior (Newton levelei Leibnizhez); Euler véleménye, miért nem kényelmes Newton jelölése
Érdekességek: Ki volt Willard Libby? Ki volt Han van Meegeren? Video a Meegeren-féle képhamisításokról. A van Meegeren-féle hamisítványok leleplezésének matematikája.
Érdekességek: A logaritmikus spirál. Az egerek üldözési feladata. Az eredeti feladat 1877-ből. Az eredeti megoldás. Itt még több megoldás. Üldözési feladatok.
Érdekességek: A láncgörbéről. Sokszögkerekek és utak. Gördülő parabola fókuszpontjának mozgása (Maxwell). Négyszögletű kerékkel fordított láncgörbéken. Négyszögletű kerékkel a vízszintes talajon.
Érdekességek: A kis hangya és a gonosz manó.
Érdekességek: Sherlock Holmes, a kis hangya és a gonosz manó. Jacob Bernoulli, Jacopo Riccati. Egy kiváló cikk a Bernoulli-egyenletről.
Érdekességek: Ki volt Wronsky?
Érdekességek: Tacoma-híd (USA). Volgograd-híd (Oroszország). Millennium-híd (London). Rezonancia rugóval. Rezonancia ingával. Rezonancia hangvillával. Rezonancia pohártöréssel. Még egy demonstráció a rezonanciára. Chladni-ábrák. Chladni-ábrák hegedűvonóval. Ki volt Ernst Chladni?
Érdekességek: Ki volt: Rudolf Lipschitz, Ernst Lindelöf, Émile Picard, Giuseppe Peano, Bodó Ági szakdolgozata a téma részletes tárgyalásával.
Érdekességek: Az e kétféle közelítése. Winplot program iránymező rajzolásához.
Érdekességek: Ki volt: Thomas Malthus, Pierre Verhulst. Hogyan alakul a Föld lakossága a korlátlan növekedési modell szerint? Hogyan alakul az USA lakossága a korlátozott növeledési modell szerint?
Érdekességek: Rómeó és Júlia, Petrarca és Laura, a Lotka–Volterra-modell, Lanchaster harci modelljei.
Érdekességek: A differenciálegyenletek csodálatos világa.