Besenyei Ádám

Parciális differenciálegyenletek előadás és gyakorlat

Mottó:

„A természet elmélyült tanulmányozása a matematikai felfedezések legtermékenyebb forrása.”

Joseph Fourier (1768–1830)

Időpontok

Előadás (parcdf1u0_m17ex):

szerda 14–16 (D. 0-803) [Az előadások emlékeztetői]

Matematikus gyakorlat (parcdf1u0_m17gx):

1. csoport (Takács Bálint Máté): hétfő 8–10 (00-114)

Alkalmazott matematikus gyakorlatok (parcdf1u0_m17gx):

2. csoport (Molnár András Sándor): csütörtök 10–12 (D. 4-710)

3. csoport: megszűnt!

A tárgy célkitűzése

A tárgy oktatásának célja egyrészt az, hogy a hallgatók megismerkedjenek a különböző természettudományos modellekben elődorduló legfontosabb klasszikus parciális differenciálegyenletekkel, másrészt pedig rövid áttekintést kapjanak a parciális differenciálegyenletek elméletében alkalmazott fő eszközökről és módszerekről. Gondolatébresztőként V. I. Arnold (1937-2010), a 20. század egyik zseniális matematikusának véleményét érdemes megfontolni.

Tematika

• A parciális differenciálegyenlet fogalma, speciális típusok. Fizikai példák kezdeti, peremérték- és vegyes feladatokra.
• A másodrendű lineáris és szemilineáris parciális differenciálegyenletek osztályozása és kanonikus alakja.
• A disztribúció fogalma, reguláris disztribúciók. Algebrai műveletek disztribúciók körében. Disztribúciók tartója. Disztribúciók deriválása, nevezetes példák. Konvolúció és direkt szorzat disztribúciók körében.
• Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenletek alapmegoldása, példák.
• Klasszikus és általánosított Cauchy-feladat állandó együtthatós lineáris hiperbolikus és parabolikus egyenletekre.
• Green-formulák elliptikus egyenletekre. Az elliptikus peremérték-feladatok klasszikus megoldásának egyértelműsége. Green-függvény.
• Szoboljev-függvényterek: alaptulajdonságok, ekvivalens normák, kompakt beágyazási tételek, nyomoperátor.
• A peremérték-feladatok gyenge (Szoboljev-térbeli) megoldásának fogalma. Klasszikus és általánosított sajátérték-feladat. A sajátértékek és sajátfüggvények tulajdonságai. Alternatíva tétel az inhomogén peremérték feladatokra.
• Vegyes (kezdeti-peremértékfeladat) hiperbolikus és parabolikus egyenletekre. A gyenge (Szoboljev-térbeli) megoldás egyértelműsége, a megoldás létezése (Fourier-módszer).

Ajánlott irodalom

• Simon László – E. A. Baderko, Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek, Tankönyvkiadó, Budapest, 1983. (az előadás erre épül, nehezebb feladatokkal)
• Besenyei Ádám – Komornik Vilmos – Simon László, Parciális differenciálegyenletek, ELTE, TypoTeX, 2013. (bőven van még mit csiszolni rajta...)

További olvasnivaló az érdeklődőknek


• Czách László – Simon László, Parciális differenciálegyenletek 1–2., ELTE jegyzet, Budapest, sok kiadás (klasszikus elmélet, disztribúciók nélkül)
• V. Sz. Vlagyimirov, Bevezetés a parciális differenciálegyenletek elméletébe, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1979. (nehéz olvasmány, fizikai szemlélet szükséges)
• V. Sz. Vlagyimirov, Parciális differenciálegyenletek feladatgyűjtemény, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1980. (nehezebb feladatok)
• Freud Géza, Parciális differenciálegyenletek (Műszaki matematikai gyakorlatok B VIII), Műszaki Könyvkiadó, Budapest, sok kiadás. (sok feladat)
• Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, AMS, Providence, 2002. (egyszerű és elegáns tárgyalásmód)
• Vladimir Arnold, Lectures on Partial Differential Equations, Springer, 2004. (zseniális, szemléletes, nem szokványos, mint minden Arnold-könyv, előszó)
• Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2010. (zseniális könyv, lényegretörő, az összefüggésekre világít rá, feladatok és megoldások)

Zárthelyi, vizsga

A gyakorlatokon a félév során két zárthelyi lesz, a gyakorlati jegyet a két zh összpontszáma fogja meghatározni. Mindkét zh 7 feladatból áll, mindegyik feladat 5 pontot ér, így a két zh-val összesen 70 pont szerezhető. Mindkét zh-n legalább egy feladatot (lényegében) helyesen meg kell oldani. A gyakorlati jegy ponthatárai várhatóan nem lesznek szigorúbbak, mint 20–30–40–50. A két zh közül az egyik javítható, a javító felülírja a korábbi pontszámot.

Az első alkmat zh időpontja:

a gyakorlatvezetők hirdetik ki

A második zh időpontja:

a gyakorlatvezetők hirdetik ki

Javító zh, gyakuv:

Javító: a szorgalmi időszak vége felé lesz kihirdetve

GyakUV: a szorgalmi időszak vége felé lesz kihirdetve

Az előadás írásbeli vizsgával zárul. Részletes tematika. Minta vizsga.

Az alkmatos gyakorlatok feladatsorai és megoldásaik

• 1. gyakorlat (elemi megoldási módszerek): [feladatsor] [megoldás]

Érdekességek: Brook Taylor és a Methodus (a hullámegyenlettel), állóhullám 1D-ban,
állóhullámok kötélen, Chladni-ábrák, Sophie Germain és a biharmonikus egyenlet.

• 2. gyakorlat (elsőrendű egyenletek): [feladatsor] [megoldás]

Érdekességek: Sir William Rowan Hamilton és a hamiltoni mechanika.

• 3. gyakorlat (kanonikus alak): [feladatsor] [megoldás]
• 4–5. gyakorlat (disztribúciók): [feladatsor] [megoldás]

Érdekességek: Oliver Heaviside, Paul Dirac és a kókuszdiók,
Laurent Schwartz a lepkéivel és egy előadásjegyzete.

• 6. gyakorlat (1. zh): [2018. tavasz A csoport] [B csoport]
• 7. gyakorlat (parabolikus alapmegoldás): [feladatsor] [megoldás]

Érdekességek: George Green és a fő műve 1828-ból (a formulákkal), rövid összefoglaló.

• 8. gyakorlat (parabolikus Cauchy-feladatok): [feladatsor] [megoldás]

Érdekességek: Albert Einstein 1905-ös (Annus Mirabilis) cikke a Brown-mozgásról,
Jean-Marie Duhamel és a Duhamel-elv.

• 9. gyakorlat (hiperbolikus Cauchy-feladatok): [feladatsor] [megoldás]

Érdekességek: Jean le Rond d'Alembert és a d'Alembert-formula, az eredeti cikk.

• 10. gyakorlat (elliptikus peremérték-feladatok): [feladatsor] [megoldás]

Érdekességek: Pierre-Simon Laplace és a Laplace-egyenlet, Siméon-Denis Poisson és
a Poisson-egyenlet Peter Johann Gustav Lejeune Dirichlet, Carl Neumann.

• 11. gyakorlat (sajátértékek, parabolikus vegyes feladatok): [feladatsor] [megoldás]

Érdekességek: Joseph Fourier és „a fizikusok bibliája” (mondta Sommerfeld),
avagy „Fourier matematikai költeménye” (mondta Lord Kelvin).

• 12. gyakorlat (2. zh): [2017. tavasz A csoport] [B csoport]