Parciális differenciálegyenletek előadás és gyakorlat

III. éves Matematika BSc matematikus és alkalmazott matematikus szakirány
2019/2020. tavaszi félév

Mottó:

„A természet elmélyült tanulmányozása a matematikai felfedezések legtermékenyebb forrása.”

Joseph Fourier (1768–1830)



Időpontok

Előadás (parcdf1u0_m17ex):
???–?? (???) [Az előadások emlékeztetői]
Matematikus gyakorlat (parcdf1u0_m17gx):
1. csoport (Takács Bálint Máté): ???–?? (???)
Alkalmazott matematikus gyakorlatok (parcdf1u0_m17gx):
2. csoport (Molnár András Sándor): ??–?? (???)
3. csoport (Maros Gábor): ??–?? (???)

A tárgy célkitűzése

A tárgy oktatásának célja egyrészt az, hogy a hallgatók megismerkedjenek a különböző természettudományos modellekben elődorduló legfontosabb klasszikus parciális differenciálegyenletekkel, másrészt pedig rövid áttekintést kapjanak a parciális differenciálegyenletek elméletében alkalmazott fő eszközökről és módszerekről. Gondolatébresztőként V. I. Arnold (1937-2010), a 20. század egyik zseniális matematikusának véleményét érdemes megfontolni.


Tematika

  • A parciális differenciálegyenlet fogalma, speciális típusok. Fizikai példák kezdeti, peremérték- és vegyes feladatokra.
  • A másodrendű lineáris és szemilineáris parciális differenciálegyenletek osztályozása és kanonikus alakja.
  • A disztribúció fogalma, reguláris disztribúciók. Algebrai műveletek disztribúciók körében. Disztribúciók tartója. Disztribúciók deriválása, nevezetes példák. Konvolúció és direkt szorzat disztribúciók körében.
  • Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenletek alapmegoldása, példák.
  • Klasszikus és általánosított Cauchy-feladat állandó együtthatós lineáris hiperbolikus és parabolikus egyenletekre.
  • Green-formulák elliptikus egyenletekre. Az elliptikus peremérték-feladatok klasszikus megoldásának egyértelműsége. Green-függvény.
  • Szoboljev-függvényterek: alaptulajdonságok, ekvivalens normák, kompakt beágyazási tételek, nyomoperátor.
  • A peremérték-feladatok gyenge (Szoboljev-térbeli) megoldásának fogalma. Klasszikus és általánosított sajátérték-feladat. A sajátértékek és sajátfüggvények tulajdonságai. Alternatíva tétel az inhomogén peremérték feladatokra.
  • Vegyes (kezdeti-peremértékfeladat) hiperbolikus és parabolikus egyenletekre. A gyenge (Szoboljev-térbeli) megoldás egyértelműsége, a megoldás létezése (Fourier-módszer).


Ajánlott irodalom


Zárthelyi, vizsga

A gyakorlatokon a félév során két zárthelyi lesz, a gyakorlati jegyet a két zh összpontszáma fogja meghatározni. Mindkét zh 7 feladatból áll, mindegyik feladat 5 pontot ér, így a két zh-val összesen 70 pont szerezhető. Mindkét zh-n legalább egy feladatot (lényegében) helyesen meg kell oldani. A gyakorlati jegy ponthatárai várhatóan nem lesznek szigorúbbak, mint 20–30–40–50. A két zh közül az egyik javítható, a javító felülírja a korábbi pontszámot.

Az első alkmat zh időpontja:
a gyakorlatvezetők hirdetik ki
A második zh időpontja:
a gyakorlatvezetők hirdetik ki
Javító zh, gyakuv:
Javító: a szorgalmi időszak vége felé lesz kihirdetve
GyakUV: a szorgalmi időszak vége felé lesz kihirdetve

Az előadás írásbeli vizsgával zárul. Részletes tematika. Minta vizsga.


Az alkmatos gyakorlatok feladatsorai és megoldásaik